열린 집합
1. 개요
1. 개요
열린 집합은 위상수학과 해석학의 기본적인 개념 중 하나이다. 모든 점이 그 점을 중심으로 하는 충분히 작은 근방이 집합에 완전히 포함되는 성질을 가진 집합으로 정의된다. 이는 직관적으로 말해, 집합의 경계를 포함하지 않는 '구멍이 뚫리지 않은' 집합의 개념을 수학적으로 엄밀하게 표현한 것이다.
이 개념은 거리 공간에서 먼저 정의되며, 각 점 주변에 특정 반지름을 가진 열린 공이 집합 안에 완전히 들어갈 수 있어야 한다. 그러나 보다 일반적으로는 위상 공간에서 다루어지며, 이때 열린 집합은 위상을 구성하는 기본 요소 그 자체가 된다. 즉, 위상 공간은 어떤 부분집합들을 열린 집합으로 규정함으로써 정의된다.
열린 집합은 그 여집합이 닫힌 집합이라는 점에서 닫힌 집합과 쌍을 이루는 개념이다. 또한, 집합의 내부는 그 집합에 포함된 가장 큰 열린 집합으로 정의된다. 이 개념들은 위상 공간의 구조를 이해하고 함수의 연속성, 수렴성 등을 논하는 데 필수적이다.
2. 정의
2. 정의
열린 집합의 정의는 다루는 공간이 거리 공간인지 위상 공간인지에 따라 약간 다르게 서술된다. 거리 공간에서는 직관적인 '내점'의 개념을 사용하여 정의하는 것이 일반적이다. 집합 O의 모든 점이 O의 내점이라면, 즉 집합 O의 임의의 점 x에 대해, x를 중심으로 하고 반지름이 양수 ε인 열린 공 B(x; ε)가 완전히 O에 포함되도록 하는 ε이 항상 존재한다면, O를 열린 집합이라고 정의한다.
보다 일반적으로, 위상 공간에서는 열린 집합의 개념이 더 기본적이다. 위상 공간 (X, T)는 집합 X와 그 위상 T의 쌍으로 정의되며, 여기서 위상 T는 X의 부분 집합들 중 '열린 집합'으로 간주할 것들의 모음이다. 이 모음 T는 공집합과 전체 집합 X를 포함해야 하며, 임의의 합집합과 유한 교집합에 대해 닫혀 있어야 한다는 공리를 만족한다. 따라서, 위상 공간에서 '열린 집합'이란 단순히 위상 T에 속하는 집합을 의미한다.
거리 공간은 표준적인 위상을 부여함으로써 위상 공간의 한 예가 된다. 이 표준 위상에서 열린 집합은 정확히 앞서 언급한 '모든 점이 내점인 집합'과 일치한다. 따라서 위상수학적 정의가 더 포괄적이며, 거리 공간에서의 정의는 그 특별한 경우로 이해할 수 있다.
3. 성질
3. 성질
열린 집합은 몇 가지 기본적이고 중요한 성질을 가진다. 첫째, 임의의 위상 공간에서 전체 공간과 공집합은 항상 열린 집합이다. 이는 정의에 의해 보장되는 가장 기본적인 성질이다. 둘째, 열린 집합들의 임의의 합집합은 다시 열린 집합이다. 즉, 무한히 많은 열린 집합을 모아 합쳐도 그 결과는 열린 집합이다.
셋째, 유한 개의 열린 집합들의 교집합은 열린 집합이다. 그러나 무한 개의 열린 집합들의 교집합은 열린 집합이 아닐 수 있다는 점에 주의해야 한다. 예를 들어, 실수 집합에서 구간 (-1/n, 1/n) (n=1,2,3,...)은 각각 열린 집합이지만, 이들의 교집합은 {0}이라는 한 점 집합이 되어 열린 집합이 아니다.
이 세 가지 성질—전체 공간과 공집합의 포함, 임의의 합집합에 대한 닫힘, 유한 교집합에 대한 닫힘—은 위상 공간을 정의하는 공리로 사용된다. 즉, 어떤 집합 X와 X의 부분 집합들의 모임 T가 이 세 성질을 만족하면, T를 X의 위상이라고 하고, T의 원소들을 열린 집합으로 정의한다. 따라서 열린 집합의 성질은 위상 공간의 구조 자체를 규정하는 근본적인 역할을 한다.
4. 예시
4. 예시
실수 집합 R에서의 가장 기본적인 열린 집합은 열린 구간 (a, b)이다. 임의의 점 x ∈ (a, b)를 잡으면, x에서 양쪽 방향으로 충분히 작은 거리 ε을 잡았을 때, 그 근방 (x-ε, x+ε)이 항상 (a, b) 안에 완전히 포함되기 때문이다. 이 원리는 2차원 평면 R^2에서는 열린 원판, 3차원 공간 R^3에서는 열린 공으로 확장된다.
유클리드 공간 R^n에서, 임의의 열린 집합들의 합집합은 다시 열린 집합이다. 예를 들어, 무수히 많은 서로 다른 열린 구간들의 합집합은 R 상의 열린 집합을 이룬다. 반면, 열린 집합들의 유한한 교집합도 열린 집합이지만, 무한한 교집합은 열린 집합이 아닐 수 있다. 예를 들어, 구간열 (-1/n, 1/n)들의 교집합은 단일점 {0}이며, 이는 열린 집합이 아니다.
위상 공간의 정의에 따르면, 공집합과 전체 공간 X 자체는 항상 열린 집합이다. 또한, 이산 위상에서는 모든 부분집합이 열린 집합이 된다. 이는 모든 점이 고립점이 되어, 그 점 자체만을 포함하는 열린 근방으로 취급될 수 있기 때문이다. 이와 대조적으로, 비이산 위상에서는 공집합과 전체 공간만이 유일한 열린 집합이다.
5. 관련 개념
5. 관련 개념
5.1. 위상 공간
5.1. 위상 공간
열린 집합의 개념은 거리 공간에서 정의된 후, 보다 일반적인 위상 공간의 구조를 정의하는 핵심 요소로 확장되었다. 위상 공간은 집합 X와 그 위에 정의된 '열린 집합들의 모임' T로 구성되며, 이때 T는 특정 공리들을 만족해야 한다. 이 공리들은 거리 공간에서 열린 집합이 가지는 기본적인 성질들을 추상화한 것이다.
구체적으로, 집합 X의 부분집합들로 이루어진 모임 T가 위상이 되려면 다음 세 조건을 만족해야 한다. 첫째, 공집합과 X 자체가 T에 포함되어야 한다. 둘째, T에 속하는 집합들 중 임의의 개수(유한 또는 무한)를 골라 그 합집합을 취했을 때, 그 결과 역시 T에 속해야 한다. 셋째, T에 속하는 집합들 중 유한 개를 골라 그 교집합을 취했을 때, 그 결과도 T에 속해야 한다. 이 조건들을 만족하는 T의 원소들을 바로 '열린 집합'이라고 정의한다.
따라서 위상 공간 (X, T)에서 '열린 집합'이라는 용어는 T에 속하는 집합 그 자체를 가리킨다. 이는 거리 공간에서의 정의를 일반화한 것으로, 특정 거리 함수에 의존하지 않고 순수히 집합족 T의 구조에 의해 결정된다. 서로 다른 위상 T1과 T2는 같은 집합 X 위에서도 완전히 다른 열린 집합 체계를 제공할 수 있다.
이러한 추상화를 통해, 거리로 쉽게 설명하기 어려운 공간들(예: 함수 공간, 추상적인 기하학적 대상)에도 일관된 '열린/닫힘'의 개념을 적용할 수 있게 되었다. 위상 공간 이론은 열린 집합, 닫힌 집합, 내부 (위상수학) 등의 개념을 기초로 전개된다.
5.2. 닫힌 집합
5.2. 닫힌 집합
열린 집합의 개념과 밀접하게 대응되는 개념이 닫힌 집합이다. 닫힌 집합은 그 여집합이 열린 집합인 집합으로 정의된다. 즉, 위상 공간 (X, T)에서 집합 C가 닫힌 집합이라는 것은 X \ C가 T에 속하는 열린 집합임을 의미한다. 이 정의는 열린 집합의 개념을 통해 닫힌 집합을 규정한다.
거리 공간의 관점에서 보면, 집합 C가 닫힌 집합일 필요충분조건은 C의 모든 극한점이 C에 속하는 것이다. 이는 직관적으로 "집합이 자신의 경계를 포함한다"는 생각과 일치한다. 예를 들어, 실수 구간 [a, b]는 두 끝점 a와 b를 포함하는데, 이 두 점은 구간의 극한점이자 경계점이므로, 이 구간은 닫힌 집합이다.
열린 집합과 닫힌 집합은 서로 배타적인 개념이 아니다. 어떤 집합은 열리면서도 닫혀 있을 수 있고(예: 전체 공간 X와 공집합), 또 어떤 집합은 열려 있지도 닫혀 있지도 않을 수 있다(예: 반개구간 [a, b)). 이 둘은 위상 구조를 설명하는 데 있어 상보적인 역할을 한다.
5.3. 내부
5.3. 내부
열린 집합의 개념은 집합의 '내부'와 밀접하게 연결되어 있다. 집합의 내부는 그 집합에 완전히 속하는 열린 집합들 중 가장 큰 집합으로 정의된다. 정확히 말해, 위상 공간 X의 부분집합 A에 대해, A의 내부는 A에 포함된 모든 열린 집합의 합집합이다. 이는 A 안의 점들 중에서 A의 '안쪽'에 완전히 들어와 있는 점들, 즉 내점들만을 모아놓은 집합이다.
따라서, 어떤 집합이 열린 집합이라는 것은 그 집합의 모든 점이 내점이라는 것과 동치이며, 이는 곧 그 집합이 자신의 내부와 정확히 일치한다는 뜻이다. 수식으로 표현하면, 집합 O가 열린 집합일 필요충분조건은 O = Int(O)가 성립하는 것이다. 이 관점에서 보면, 집합의 내부를 구하는 작업은 주어진 집합에서 '열린 성분'을 추출하는 과정이라고 볼 수 있다.
예를 들어, 실수 직선에서 구간 [0, 1)을 생각해보자. 이 집합의 내부는 열린 구간 (0, 1)이다. 점 0은 이 집합의 내점이 아니므로 내부에 포함되지 않는다. 반면, 열린 구간 (0, 1) 자체는 자신의 내부와 같으므로 당연히 열린 집합이다. 이처럼 내부 연산은 집합의 경계에 있는 점들을 제거하여 본질적인 열린 부분을 드러내준다.
내부의 개념은 닫힌 집합과 경계 (위상수학)를 정의하고 이해하는 데도 핵심적이다. 닫힌 집합은 자신의 내부에 경계점을 모두 더한 집합으로, 열린 집합의 여집합으로도 정의된다. 또한, 집합의 경계는 그 집합에서 내부를 제외한 부분으로 설명될 수 있다. 따라서 열린 집합, 내부, 닫힌 집합, 경계는 서로 긴밀하게 얽혀 있는 기본적인 위상 개념들이다.
5.4. 열린 덮개
5.4. 열린 덮개
열린 덮개는 위상 공간에서 주어진 집합을 완전히 덮는 열린 집합들의 모임이다. 정확히는, 위상 공간 X의 부분집합 A에 대해, A를 포함하는 열린 집합들의 모음 {U_λ}가 A의 열린 덮개라는 것은 A가 모든 U_λ의 합집합에 포함될 때를 말한다. 즉, A의 모든 점이 적어도 하나의 열린 집합 U_λ에 속해야 한다.
이 개념은 위상수학의 여러 핵심 정리, 특히 컴팩트성과 연결되어 중요하다. 어떤 공간이 컴팩트하다는 것은 그 공간의 모든 열린 덮개가 유한한 부분 덮개를 가진다는 성질로 정의된다. 이는 무한히 많은 열린 집합으로 덮는 경우에도, 사실은 그중 유한 개만 잘 골라도 여전히 전체를 덮을 수 있다는 강력한 조건이다.
열린 덮개는 해석학에서도 등장하며, 예를 들어 실수 구간에서 정의된 연속함수가 균등연속이기 위한 조건을 논할 때 사용된다. 또한, 위상 공간의 국소적 성질을 연구하거나, 파라컴팩트 공간과 같은 더 세분화된 공간 종류를 정의하는 데도 필수적인 도구이다.
6. 여담
6. 여담
열린 집합의 개념은 직관적으로 '경계를 포함하지 않는 집합'으로 이해할 수 있다. 예를 들어, 구간 (0, 1)은 0과 1을 포함하지 않으므로 열린 구간이며, 이는 실수 직선에서의 대표적인 열린 집합이다. 반면, 구간 [0, 1]은 양 끝점을 포함하므로 닫힌 집합에 해당한다.
이 개념은 거리 공간뿐만 아니라, 더 일반적인 위상 공간으로 확장된다. 위상 공간에서는 열린 집합들을 모은 위상 구조 자체가 공간의 기본 성질을 정의하며, 이는 거리 개념 없이도 수렴, 연속성, 연결성 등을 논할 수 있는 기초를 제공한다. 따라서 열린 집합은 현대 위상수학의 가장 핵심적인 구성 요소 중 하나이다.
일상 언어에서 '열려 있다'는 표현과는 달리, 수학에서 '열린 집합'은 그 자체로 완결된 엄밀한 정의를 가진다. 전체 공간과 공집합은 항상 열린 집합이자 동시에 닫힌 집합이라는 점은 처음 접할 때 다소 역설적으로 느껴질 수 있는 성질이다.
